Метод линеаризации экспериментальных данных. Методы линеаризации нелинейных сау

Нв себя, L(0)=0, и дифференцируем по Фреше. Одним из классич. методов решения (1), связанным с линеаризацией (1), является итерационный метод Ньютона - Канторовича, в к-ром при известном приближении и n новое приближение и n+ 1 определяется как решение линейного уравнения

с итерационным параметром подлежащим выбору. При реализации упомянутых методов следует учитывать и приближенность решения систем (напр., как следствие применения вспомогательных итерационных методов) (см., напр., , , ). При рассмотрении нелинейных задач на собственные значения (задач нахождения точек бифуркации), напр. вида

идея линеаризации (5), сводящая исследование задачи (5) к исследованию линейной задачи на собственные значения

оказалась весьма плодотворной (см. - ). Часто используется та или иная линеаризация и в сеточных методах решения нестационарных нелинейных задач (см., напр., - ), проводимая за счет известных решений в моменты времени до t n и дающая линейные уравнения для решения в следующий дискретный (t - шаг по времени). Лит. : Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, т. 1, М., 1969 ; К о л л а т ц Л., Функциональный анализ и , пер. с нем., М., 1969; О р т е г а Д ж., Р е й н б о л д т В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; Б е л л м а н Р., К а л а б а Р., Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи, пер. с англ., М., 1968; П о б е д р я Б. Б., в кн.: Упругость и неупругость, в. 3, М., 1973, с. 95-173; О д е н Д ж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред, пер. с англ., М., 1976; Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике, пер. с англ., М., 1975; С в и р с к и й И. В., Методы типа Бубнова - Галеркияа и последовательных приближений, М., 1968; М и х л и н С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; Futik S., Kratochvil A., Necas I., "Acta Univ. Corolinae. Math, et Phys.", 1974, v. 15, № 1-2, p. 31-33; Амосов А. А., Бахвалов Н. С., О с и-п и к Ю. И.; "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1980, т. 20, № 1, с. 104-11; Е i s е n s t a t S. С., S с h u l t z М. Н., S h е r m a n А. Н., "Lect. Notes Math.", 1974, № 430, p. 131 - 53; Дьяконов Е. Г., в кн.: Численные методы механики сплошной среды, т. 7, № 5, М., 1976, с. 14-78; В о р о в и ч И. И., в кн.: Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды. К шестидесятилетию акад. Л. И. Седова, М., 1969; Бергер М. С., в кн.: Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения, пер. с англ., М., 1974, с. 71-128; Скрыпник И. В., Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка, К., 1973; Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2 изд., М., 1970; Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевых задач, в. 2 - Нестациопарные задачи, М., 1972; Р и в к и н д В. Я., У р а л ь ц е в а Н. Н., в кн.: Проблемы математического анализа, в. 3, Л., 1972, с. 69-111; Fairweather G., Finite element Galerkin methods for differential equations, N. Y., 1978. ; L u s k i n M., "SIAM J. Numer. Analysis", 1979, v. 16, № 2, p. 284-99.

Е. Г. Дьяконов.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ЛИНЕАРИЗАЦИИ МЕТОДЫ" в других словарях:

функциональная группа - 2.1.8. функциональная группа: Группа, состоящая из нескольких функциональных блоков, электрически взаимосвязанных между собой для выполнения заданных функций. Источник …

Численные методы решения методы, заменяющие решение краевой задачи решением дискретной задачи (см. Линейная краевая задача;численные методы решения и Нелинейное уравнение;численные методы решения). Во многих случаях, особенно при рассмотрении… … Математическая энциклопедия

Численные методы раздел вычислительной математики, посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. принято разделять на два больших класса: непрямые и прямые методы. Непрямые методы основаны на… … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Наследование. Диаграмма наследования классов в виде ромба. Ромбовидное наследование (… Википедия

Прогноз - (Forecast) Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования Определение прогноза, задачи и принципы прогнозирования, методы прогнозирования Содержание Содержание Определение Основные понятия прогностики Задачи и принципы прогнозирования… … Энциклопедия инвестора

Приближенные методы решения методы получения аналитич. выражений (формул), либо численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения (д. у.) или системы для одного или нескольких… … Математическая энциклопедия

Численные методы решения итерационные методы решения нелинейных уравнений. Под нелинейными уравнениями понимаются (см. ) алгебраические и трансцендентные уравнения вида где х действительное число, нелинейная функция, а под системой… … Математическая энциклопедия

Ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… … Физическая энциклопедия

- (от лат. linearis линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы… … Википедия

статическая - 3.7 статическая нагрузка: Внешнее воздействие, которое не вызывает ускорений деформируемых масс и сил инерции. Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Книги

• Прогнозирование надёжности технологических процессов, инструмента и машин в обработке металлов давлением , Л. Г. Степанский. Пособие соответствует программе курса "Теория автоматического управления" . Рассмотрены математические модели и методы анализа устойчивости дискретных систем. Изложены методы гармонической и…

Обсудим еще раз выбор масштаба для представления этих данных в графическом виде (см. рис.30). Максимальная метка °С, соответствующая оси температур Х, очень неплохо укладывается на 40 клетках, что соответствует очень удобному разделению по 10 клеток на кажые 50°С. А сколько надо дополнительных рисок? В этом случае предлагаю расставить их через 2 клетки, что придаст простоту определения координаты, так как интервал между такими рисками будет соответствовать 10°С, что очень удобно.

А вот на оси Y я расставил риски через 5 клеток на кажые 500 Ом сопротивления, что привело к неполному использованию площади бумаги. Но, посудите сами, если разделить ось по 6 или 7 клеток, было бы неудобно находить координату, а если по 8 клеток, то максимальная риска, соответствующая 2000 Ом, не поместилась бы на оси.

Теперь надо обсудить вид теоретической кривой. Откроем методические указания по выполнению лабораторных работ на странице 28 и найдем фомулу 3, описывающую зависимость сопротивления полупроводника от темепературы ,

где – ширина запрещенной зоны, – постоянная Больцмана, – некоторая константа, имеющая размерность сопротивления, и, наконец, температура , выраженная в Кельвинах. Начнем оформлять новую таблицу. Во-первых, температуру переведем в Кельвины. Во-вторых, поставим себе задачу не только нарисовать новый график , но и найти с помощью графика ширину запрещенной зоны. Для этого прологарифмируем экспоненциальную зависимость и получим

Обозначим , , и . Тогда получим линейную зависимость ,

которую мы и будем изображать на графике. Данные, соответствующие значениям и , запишем в таблицу 9.

Таблица 9. Пересчет данных таблицы 8.

номер точки
T, K
1/T , 10 –3 K –1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
lnR , Ом	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Если по данным таблицы 9 построить график зависимости на рис.31, то все экспериментальные точки займут совсем немного места на листе при большом пустом пространстве. Почему так получилось? Потому что по осям Х и Y метки расставлены начиная от 0, хотя значения, например, начинаются только со значения . Обязательно ли делать начальную метку равную 0? Ответ на этот вопрос зависит от поставленных задач. В примере с маятником Обербека (см. рис.28) было очень важным найти пересечение оси Х теоретической прямой в точке с координатой Y=0, что соответствовало значению . А в этой задаче надо найти только ширину запрещенной зоны, которая связана с постоянной , соответствующая коэффициенту наклона прямой на рис.31, поэтому совсем не обязательно расставлять метки на осях, начиная с 0.

Изучая данные из табл.9 и подбирая удобный масштаб, можно с уверенностью сказать, что ориентацию миллиметровой бумаги нужно изменить, как показано на рис.32. Самостоятельно изучите выбранный масштаб и убедитесь в том, что он очень удобен для работы с графиком. На теоретической прямой (проведенной на глаз наилучшим способом между экспериментальными точками) поставим две точки А и В с координатами и . Коэффициент наклона выразим через координаты этих точек по формуле

И, наконец, вычисляем ширину запрещенной зоны

Методом парных точек рассчитаем этот же коэффициент и его погрешность , для этого рассмотрим пары точек из таблицы 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 и 7–10.

Рассчитаем для этих пар точек коэффициенты наклона прямых, которые проходят через них

Среднее значение

,

Теперь рассчитаем ширину запрещенной зоны и ее погрешность .

Таким образом мы пришли к ответу

эВ

Самостоятельная работа.

Предлагаю вам проделать самостоятельные рассчеты, построения и обработку графиков в следующей виртуальной лабораторной работе под кодовым названием "Определить жесткость пружины". Но поднимем планку Эксперимента на более высокий уровень: надо не просто получить число, но сравнить два метода измерения жесткости пружины – статический и динамический.

Кратко рассмотрим эти методы.

Статический метод.

Если подвесить к закрепленной вертикальной пружине груз массой , то пружина растянется на согласно закону Гука, где – длина растянутой пружины, а – длина нерастянутой пружины (начальная длина).

Примечание: закон Гука говорит о пропорциональности силы упругости пружины абсолютному удлинению , т.е. , где – коэффициент упругости (или жесткость) пружины.

В состоянии равновесия сила тяжести груза уравновесится силой упругости и мы можем написать . Раскроем скобки и увидим зависимость длины пружины от массы груза

Если сделать замену переменных , то получится уравнение прямой . Не надо делать линеаризацию!

Итак, перед вами стоит задача обработать данные из таблицы 10, которые были занесены туда юным Экспериментатором (ему надоело бросать кирпичи с крыши девятиэтажного дома). Для опытов он запасся набором грузов, нашел десяток-другой разных пружин и, подвешивая грузы разных масс, замерял длину растянутой пружины с помощью миллиметровой линейки.

Задание 1.

1. Выберите номер пружины из таблицы 10.

2. Составьте свою таблицу из двух столбцов. В первый столбец занесите силу тяжести , где – масса груза (в кг), м/с 2 . Во второй столбец перенесите значения длин выбранной пружины (в метрах). Предусмотрите ячейки для средних значений и .

Таблица 10.

m, г	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Таблица 10 (продолжение)

m, г	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см	l , см
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Возьмите лист миллиметровой бумаги, нанесите на ней оси координат. В соответствии с данными выберите оптимальный масштаб и постройте график зависимости силы тяжести от длины пружины , откладывая значения вдоль оси Х, а величины вдоль оси Y.

4. Составьте 7 пар точек: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Методом парных точек рассчитайте 7 коэффициентов наклона по формуле

И т.д.

5. Найдите среднее значение , что соответствует среднему значению коэффициента упругости пружины .

6. Найдите среднеквадратичное отклонение , доверительный интервал , (т.к. получено 7 значений ). Представьте результат в виде

Дополнительное задание (необязательное)

7. Рассчитайте начальную длину пружины. Для этого получите выражение для коэффициента из уравнения равновесия и подставьте в него средние значения

8. Рассчитайте доверительный интервал для коэффициента

9. Учитывая, что , рассчитайте начальную длину пружины и доверительный интервал для нее

,

Динамический метод

Подвесим груз массы к закрепленной вертикальной пружине жесткости и толкнем его легонько вниз. Начнутся гармонические колебания, период которых равен (см. , стр 76). Выразим массу груза через период колебаний

В

Рис. 2.2. Звено САР

большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X 1 иX 2 , а внешнее возмущение – через F(t).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х 1 , которое обозначим Х 10 . В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х 1 будет иметь зна­чениягде
обозначает отклонение переменнойX 1 от установившегося значения Х 10 .

А

Рис. 2.3. Процесс регулирования в звене

налогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем: а также
.

Далее можно записать:
;
и
, так как
и

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х 10 , Х 20 и F 0 . Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

где  – члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных
.

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

где введены следующие обозначения

. (2.6)

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т 1 и Т 2 имеют размерность времени – секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.8) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность(илиpx 2) отличается от размерности х 2 на секунду в минус первой степени (
). Поэтому коэффициенты Т 1 и Т 2 называютпостоянными времени .

Коэффициент k 1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называетсякоэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления – для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число – для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии
. Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена
, то линеаризация дает
или
. Коэффициент передачи k 1 будет представлять собой тангенс угла наклона касательной в той точкеC(см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х 1 и х 2 .

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ, на котором касательная мало отличается от самой кривой.

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C, определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k 1 = tgcучетом масштабов чертежа и размерностиx 2 . Во многих случаяхграфический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

Размерность коэффициента k 2 равна размерности коэффициента передачи k 1 , умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.8) записывают в виде

где
– постоянная времени.

П

Рис. 2.4. Двигатель независимого возбуждения

остоянные времени Т 1 , Т 2 и Т 3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k 3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

В качестве примера линеаризации рассмотрим электрический двигатель, управляемый со стороны цепи возбуждения (рис. 2.4).

Для нахождения дифференциального уравнения, связывающего приращение скорости с приращением напряжения на обмотке возбуждения, запишем закон равновесия электродвижущих сил (эдс) в цепи возбуждения, закон равновесия эдс в цепи якоря и закон равновесия моментов на валу двигателя:

;

.

Во втором уравнении для упрощения опущен член, соответствующий эдс самоиндукции в цепи якоря.

В этих формулах R В и R Я – сопротивления цепи возбуждения и цепи якоря; І В и І Я – токи в этих цепях; U В и U Я – напряжения, приложенные к этим цепям; В – число витков обмотки возбуждения; Ф – магнитный поток; Ω – угловая скорость вращения вала двигателя; М – момент сопротивления от внешних сил;J– приведенный момент инерции двигателя; С Е и С М – коэффициенты пропорциональности.

Допустим, что до появления приращения напряжения, приложенного к обмотке возбуждения, существовал установившийся режим, для которого уравнения (2.10) запишутся следующим образом:

(2.11)

Если теперь напряжение возбуждения получит приращение U В = U В0 + ΔU В, то все переменные, определяющие состояние системы, также получат приращения. В результате будем иметь: І В = І В0 + ΔІ В; Ф = Ф 0 + ΔФ; I Я = I Я0 + ΔІ Я; Ω = Ω 0 + ΔΩ.

Подставляем эти значения в (2.10), отбрасываем малые высшего порядка и получаем:

(2.12)

Вычитая из уравнений (2.12) уравнения (2.11), получим систему уравнений для отклонений:

(2.13)

В

Рис. 2.5. Кривая намагничивания

этих уравнениях введен коэффициент пропорциональности между приращением потока и приращением тока возбуждения
определяемый из кривой намагничивания электродвигателя (рис. 2.5).

Совместное решение системы (2.13) даёт

где коэффициент передачи, ,

; (2.15)

электромагнитная постоянная времени цепи возбуждения, с,

(2.16)

где L B = a B – динамический коэффициент самоиндукции цепи возбуждения; электромагнитная постоянная времени двигателя, с,

. (2.17)

Из выражений (2.15) – (2.17) видно, что рассматриваемая система является по существу нелинейной, так как коэффициент передачи и «постоянные» времени, на самом деле – не постоянны. Их можно считать постоянными только приближенно для какого-то определенного режима при условии малости отклонений всех переменных от установившихся значений.

Интересным является частный случай, когда в установившемся режиме U B0 = 0; І B0 = 0; Ф 0 = 0 и Ω 0 = 0. Тогда формула (2.14) приобретает вид

. (2.18)

В этом случае статическая характеристика будет связывать приращение ускорения двигателя
и приращение напряжения в цепи возбуждения.

Зависимости

Обработка результатов косвенных измерений при нелинейной

Представление результатов измерений

Ввиду того, что каждый аргумент может иметь соответствующие доверительные границы неисключенной систематической и случайной погрешностей, то задача определения погрешности косвенного измерения в этих случаях делится на три этапа:

а) суммирование частных неисключенных систематических погрешностей аргументов;

б) суммирование частных случайных погрешностей аргументов;

в) сложение систематической и случайной составляющих погрешности.

Доверительная граница неисключенной систематической погрешности косвенного измерения при условии одинаковой доверительной вероятности частных погрешностей и их равномерного распределения внутри заданных границ определяется по формуле (без учета знака):

где θ y – доверительная граница неисключенной систематическо погрешности среднего значения X j -го аргумента. При отсутствии корреляционной связи между аргументами оценка СКО случайной погрешности косвенного измерения вычисляется по

где S x j – оценка СКО случайной погрешности результата измерения X j -го аргумента.

При нормальном распределении погрешностей косвенного измерения доверительная граница случайной составляющей погрешности вычисляется по формуле:

где t p – квантиль Стьюдента при доверительной вероятности P с эффективным числом степеней свободы k эф , определяемом при малых объемах выборки по формуле:

При больших объемах число степеней свободы находится по формуле

Доверительная граница суммарной погрешности результата косвенного

измерения определяется по правилам, изложенным выше.

Существуют два метода определения точечной оценки результата косвенного измерения и её погрешности: линеаризации и приведения.

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях и некоррелированных погрешностях измерений аргументов используется метод линеаризации. Метод линеаризации основан на том, что погрешность измерения значительно меньше измеряемой величины, и поэтому вблизи средних значений Xi аргументов нелинейная функциональная зависимость линеаризуется и раскладывается в ряд Тейлора (члены высокого порядка не учитываются). Линеаризуя функцию нескольких случайных аргументов (какими и являются результаты измерений и их погрешности), можно получить, как правило, достаточно простое выражение для вычисления оценок среднего

значения и среднего квадратического отклонения функции. Разложение нелинейной функции в ряд Тейлора имеет вид:

Метод линеаризации допустим, если можно пренебречь остаточным членом R . Остаточным членом

пренебрегают, если

где X S – среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения x i -го аргумента. Первое слагаемое правой части уравнения есть точечная оценка истинного значения косвенной величины, которая получается подстановкой в

функциональную зависимость средних арифметических X i , значений аргументов:

Второе слагаемое

есть сумма составляющих погрешности косвенного измерения, называемых частными погрешностями, а частные производные

Коэффициентами влияния.

Отклонения ΔXi должны быть взяты из полученных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали выражение для остаточного члена R . Если частные погрешности косвенного измерения не зависят друг от друга, т. е. являются некоррелированными, и известны доверительные границы погрешности аргументов при одинаковой вероятности, то предельная погрешность (без учета знака) косвенного измерения вычисляется по формуле:

значения частных производных функциональной зависимости определяются при средних значениях аргументов

Этот метод, называемый максимум-минимум, дает значительно завышенное значение погрешности косвенного измерения. Относительно правильная оценка погрешности косвенного измерения, получается, по методу квадратического суммирования

В ряде случаев расчет погрешности косвенного измерения значительно упрощается при переходе к относительным погрешностям. Для этого используется прием логарифмирования и последующего дифференцирования функциональной зависимости. Когда предельная погрешность косвенного измерения, полученная по методу максимума-минимума.

Линеаризация является наиболее распространенным способом понижения уровня сложности ММ и служит основой применения линейной теории.

Суть любой линеаризации состоит в приближенной замене исходной нелинейной зависимости (нелинейности) некоторой линейной зависимостью в соответствии с определенным условием (критерием) эквивалентности. Среди возможных методов чаще всего применяют метод касательных (линеаризация в малой окрестности заданной точки). Этот метод не зависит от вида преобразуемых сигналов и может одинаково успешно использоваться для разных типов нелинейностей, которые могут быть одномерными и многомерными; безынерционными (статическими) и динамическими.

Безынерционные нелинейности устанавливают функциональную зависимость между значениями входа u (t ) и выхода y (t ) в один и тот же текущий момент времени t и могут задаваться либо явно (формулами, графиками, таблицами), либо неявно (алгебраическими уравнениями). На структурных схемах им соответствуют безынерционные (без памяти) нелинейные звенья .

Динамические нелинейности описываются математически нелинейными дифференциальными уравнениями и на структурных схемах им соответствуют нелинейные динамические звенья . При этом значения выхода y (t ) в текущий момент времени t зависят не только от значений входа в этот же момент времени, но и от производных, интегралов или каких либо других значений.

Математической основой метода касательных является разложение нелинейной функции в ряд Тейлора в малой окрестности некоторой «точки линеаризации» с последующим отбрасыванием нелинейных слагаемых, содержащих степени отклонений переменных (приращений) выше первой.

Суть метода рассмотрим на частных случаях с последующими обобщениями.

1) Пусть y = F (u ) - явно заданная одномерная безынерционная нелинейность, гладкая и непрерывная в окрестности некоторой точки u =u *. Полагая, u =u *+Du ; y =y *+Dy , где y *=F (u *), запишем ряд Тейлора для этой функции в виде:

Отбрасывая слагаемые более высокого порядка малости, и оставляя только слагаемые, содержащие Du в первой степени, получим приближенное равенство

. (2)

Это выражение приближенно описывает взаимосвязь малых приращений Dy и Du в виде линейной зависимости и является результатом линеаризации в рассматриваемом случае. Здесь К имеет геометрический смысл углового коэффициента наклона касательной к графику функции в точке с координатой u =u *.

В случае многомерной нелинейности y =F (u ), когда y ={y i }, F ={F i } иu ={u j }– векторы, аналогично получим, что Dy =K Du . ЗдесьK ={K ij }- матричный коэффициент, элементы которого K ij определяются как значения частных производных функций F i по переменным u j , вычисленных в «точке» u =u* .

2. Пусть безынерционная нелинейность задана неявно с помощью алгебраического уравнения F (y ,u )=0 . Необходимо линеаризовать эту нелинейность в малой окрестности некоторого известного частного решения (u *, y *) в предположении того, что все нелинейные функции F i в составе F непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности. Выполнив разложение этой вектор-функции в ряд Тейлора и, отбросив слагаемые второго и выше порядков малости, получим линейное уравнение первого приближения:

, (3)

где Dy =y –y *; Du =u –u *; - матрицы частных производных, вычисленные в точке линеаризации.

3. Пусть одномерная динамическая нелинейность задана дифференциальным уравнением «вход-выход» n -го порядка:

F (y , y (1) , …, y ( n ) , u , u (1) , …u ( m ))=0. (4)

Линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения этого уравнения y *(t ), соответствующего заданному входу u *(t ). Производные по времени соответствующих порядков от y *(t ) и u *(t ) также предполагаются известными.

Предполагая функцию F непрерывно-дифференцируемой по всем своим аргументам и следуя рассмотренной выше общей методике (разложение в ряд и учет только линейных относительно приращений аргументов слагаемых), запишем линейное уравнение первого приближения для нелинейного уравнения:

(5)

Здесь символ (*) означает, что частные производные определены при значениях переменных и их производных, соответствующих частному решению (y *(t ), u *(t )). В общем случае их значения (коэффициенты уравнения) будут зависеть от времени и линеаризованная модель будет нестационарной . Но если частное решение соответствует статическому режиму , то эти коэффициенты будут постоянными .

Для удобства и краткости записи, введем следующие обозначения:

= a i ; = -b i ; Dy (i ) =D i Dy ; Du (i ) =D i Du ; D =d /dt .

Тогда линеаризованное уравнение (5) запишется в краткой операторной форме:

A (D )Dy (t )=B (D )Du (t ),

где A (D ) – полином степени n относительно оператора дифференцирования D ;

B (D ) – аналогичный операторный полином m -ой степени.

4. Пусть многомерная динамическая нелинейность задана нелинейными уравнениями состояния вида

(6)

Аналогично предыдущим случаям, линеаризуем эту нелинейность методом касательных в малой окрестности известного частного решения (x* , y* ), соответствующего заданному входу u* (t ). При этом уравнения первого приближения будут иметь следующий вид:

(7)

где - матрицы соответствующих размеров. Их элементы в общем случае будут функциями времени, но если частное решение соответствует статическому режиму, то они будут постоянны.

Сделаем заключительные замечания о применении метода касательных при линеаризации ММ всей САР, представляющей собой совокупность описаний взаимодействующих между собой конструктивных блоков.

1) «опорный режим» (*), относительно которого выполняется линеаризация, рассчитывается для всей системы по ее полной (нелинейной) ММ. Для расчета могут использоваться как графические, так и численные (компьютерные) методы. При этом коэффициенты всех линеаризованных уравнений и функциональных зависимостей будут зависеть от выбранных точек линеаризации;

2) все нелинейные зависимости ММ должны быть непрерывными и непрерывно дифференцируемыми (гладкими) в малой окрестности режима (*);

3) отклонения переменных от их значений в опорном режиме должны быть достаточно малыми; для САР и У это требование вполне согласуется с целью управления – регулированием значений управляемых переменных в соответствии с предписанными законами их изменения;

4) для линейных уравнений в составе ММ линеаризация состоит в формальной замене всех переменных на их отклонения (приращения);

5) для получения линеаризованной ММ всей системы в стандартном виде, например в форме уравнений состояния, следует сначала проводить линеаризацию каждого из уравнений в составе ММ. Это будет намного проще и быстрее, чем попытка получения нелинейной ММ системы в стандартном виде с последующей ее линеаризацией;

6) при соблюдении всех условий применения метода касательных, свойства линеаризованной ММ дают объективное представление о локальных свойствах нелинейной ММ в малой окрестности опорного режима. Этот факт имеет строгое математическое обоснование в виде теорем Ляпунова (первый метод) и является теоретической базой для практического применения линейной теории управления.