Выбор наилучшего решения в условиях неопределенности существенно зависит от того, какова степень этой неопределенности, т.е. от того, какой информацией располагает ЛПР.

Предположения субъективны, поэтому и степени неопределенности со стороны ЛПР должны различаться. Практикуются два основных подхода к принятию решения в условиях неопределенности. Лицо, принимающее решение, может использовать имеющуюся у него информацию и свои собственные личные суждения, а также опыт для идентификации и определения субъективных вероятностей возможных внешних условий, оценки возможных последствий альтернатив в различных условиях внешней среды. Это, в сущности, делает условия неопределенности аналогичными условиям риска, а процедура принятия решения, обсуждавшаяся ранее для условий риска, выполняется и в этом случае.

Если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР предпочитает не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. это лицо может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, что практически одно и то же. Если применяется данный подход, то для оценки предполагаемых стратегий имеются четыре критерия решения:

1) критерий решения Вальда, называемый также максимином;
2) альфа-критерий решения Гурвица;
3) критерий решений Сэвиджа, называемый также критерием отказа от минимакса;
4) критерий решений Лапласа, называемый также критерием решения Бэйеса.

Пожалуй, наиболее трудная задача для ЛПР заключается в выборе конкретного критерия, наиболее подходящего для решения предложенной задачи. Выбор критерия должен быть логичным при данных обстоятельствах. Кроме того, при выборе критерия должны учитываться философия, темперамент и взгляды нынешнего руководства фирмы (оптимистические или пессимистические, консервативные или прогрессивные).

Рассмотрим эти утверждения на конкретном примере. Элементами модели выбора альтернатив в условиях неопределенности являются матрица принятия решений |А i, Sj| и целевая функция Е {A i, w (S j)} (рис. 6.9).

Рис. 6.9.

А i, – альтернативы действий; Sj – состояние внешней среды; w (S j) – вероятности наступления состояния S j, причем Σmj= 1w(S j) = 1; e ij – результат, который будет достигнут, если выбрана альтернатива А i и наступит состояние внешней среды S j

В качестве иллюстрационного примера возьмем матрицу решений (рис. 6.10), включающую в себя пять альтернатив (A i; i = 1, ..., 5) и четыре состояния внешней среды (S j; j = 1,4). Последствия принимаемых решений приведены на пересечении строк и столбцов (e ij).

Рис. 6.10.

В условиях определенности, т.е. когда принятие решений происходит после наступления событий во внешней среде (апостериори), должно приниматься решение, максимизирующее целевую функцию (рис. 6.11). Так, при наступлении события S 1 необходимо принимать альтернативу A2, при S2 → A4, при S3 → A5, при S4 → A1.

Рис. 6.11.

В условиях риска необходимо принимать решение (выбирать альтернативу Ai) до наступления события Sj во внешней среде (априори), что требует учета вероятности w (Sj) наступления этого события. Это можно сделать путем умножения вероятности наступления этого события w (S j) на результат e ij, получаемый от принятия того или иного решения, и выбрать наибольшее значение Ai (рис. 6.12).

Рис. 6.12.

В случае если степень неопределенности слишком высока, то ЛПР может присваивать значениям вероятности свои субъективные значения, сводя задачу к принятию решений в условиях риска, либо не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, применяя различные критерии для выбора.

Критерий решения Вальда

Критерием Вальда "рассчитывай на худшее" (критерий крайнего пессимизма, или максимин) называют критерий, предписывающий обеспечить значение параметра эффекта, равного а:

Этот критерий ориентирует ЛПР на наихудшие условия и рекомендует выбрать ту стратегию, для которой выигрыш максимален. В других, более благоприятных условиях использование этого критерия приводит к потере эффективности системы или операции.

В рассматриваемом случае (рис. 6.13) в соответствии с критерием "крайнего пессимизма" наилучшей альтернативой будет A1.

Другим предельным случаем критерия Вальда является критерий "необузданного оптимизма", или максимакс:

В соответствии с этим критерием необходимо выбрать альтернативу А 2.

Рис. 6.13.

Альфа-критерий решения Гурвица

Этот критерий рекомендует при выборе решения в условиях неопределенности не руководствоваться крайним пессимизмом (всегда "рассчитывай на худшее", α = 0) или крайним оптимизмом ("все будет наилучшим образом", а = 1). Рекомендуется некое среднее решение (0 ≤ α ≤ 1). Этот критерий имеет следующий вид:

где α – некий коэффициент, выбираемый экспериментально из интервала между 0 и 1.

Использование этого коэффициента вносит дополнительный субъективизм в принятие решений с использованием критерия Гурвица.

В рассматриваемом примере (рис. 6.14) для случая а = 0,7 предпочтительной альтернативой становится А3.

Рис. 6.14.

Здесь приняты следующие обозначения:

Критерий решения Сэвиджа

В соответствии с этим минимаксным критерием, если требуется в любых условиях избежать большого риска, то оптимальным будет то решение, для которого риск, максимальный при различных вариантах условий, окажется минимальным.

При использовании критерия Сэвиджа обеспечивается наименьшее значение максимальной величины риска:

где риск r ij определяется выражением r ij = β – e ij, β – максимально возможный выигрыш.

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, – это критерий крайнего пессимизма, но только пессимизм здесь проявляется в том, что минимизируется максимальная потеря в выигрыше по сравнению с тем, чего можно было бы достичь в данных условиях.

Для рассматриваемого примера результаты выбора альтернативы приведены на рис. 6.15.

Рис. 6.15.

В рассматриваемом примере альтернатива А 4 минимизирует максимальное "наказание" за неверно определенное состояние внешней среды.

Критерий решения Лапласа

Критерий Лапласа, или байесов критерий, гласит, что если вероятности состояния среды неизвестны, то они должны приниматься как равные. В этом случае выбирается стратегия, характеризующаяся самой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей. Критерий Лапласа позволяет сводить условие неопределенности к условиям риска. Критерий Лапласа называют критерием рациональности, и он подходит для стратегических долгосрочных решений, как и все названные выше критерии.

В рассматриваемом примере наилучшей альтернативой по критерию Лапласа (рис. 6.16) является А 5.

Рис. 6.16.

Кроме названных выше четырех критериев для принятия решений в условиях неопределенности существуют неколичественные методы, такие как приобретение дополнительной информации, хеджирование, гибкое инвестирование и др.

В ситуации неопределенности невозможно определить вероятности наступления тех или иных последствий принимаемых решений. Поэтому критерий математического ожидания, который широко используется в ситуации риска, и для которого обязательно нужны упомянутые вероятности, здесь неприменим. Вместо него используются иные критерии.

Для выбора оптимальной стратегии в ситуации неопределенности существует два основных критерия: максимин и минимакс. Максимин называют еще критерием пессимиста или критерием Вальда , а минимакс - критерием Сэвиджа.

Критерий Вальда (Уолда) – максиминный. Этот критерий опирается на принцип наибольшей осторожности – критерий крайнего пессимизма, который основывается на выборе "из худшего – лучшее". По сути, это критерий минимакса – основной в теории игр. Согласно этому критерию природа (среда) ведет себя как разумный агрессивный противник, делающий все, чтобы помешать нам достичь успеха. Оптимальной считается та стратегия, которая гарантирует выигрыш наибольший (max) из всех наихудших (min) возможных исходов действия по каждой стратегии – уровень безопасности:

Выбранная таким образом оптимальная по критерию Вальда стратегия называется максиминной, а величина W – максимином.

Критерий Сэвиджа – минимаксного риска . Критерий предполагает предварительное составление так называемой матрицы "рисков" (потерь, сожалений). В теории статистических решений риском rij при пользовании стратегией Qi в условиях Gj называется разность между выигрышем, который мог бы быть получен, если бы были известны условия Gj, и выигрышем, который будет получен, не зная их и выбирая стратегию Qi:

Минимакс ориентирован не столько на минимизацию потерь, сколько на минимизацию сожалений по поводу упущенной прибыли. Он допускает разумный риск ради получения дополнительной прибыли. Пользоваться этим критерием для выбора стратегии поведения в ситуации неопределенности можно лишь тогда, когда есть уверенность в том, что случайный убыток не приведет фирму к полному краху

Критерий произведений

Высокодоходные акции редко бывают достаточно надежными, а самые надежные высокодоходными. Поэтому при покупке акций всегда приходится выбирать между их доходностью и их надежностью и как-то увязывать их между собой. Такая проблема всегда встает при любом инвестиционном проекте. Если известны вероятности сохранения или потери инвестиций, то эта проблема решается с помощью критерия математического ожидания. Если их нет, приходится обращаться к другими критериям. Одним из таких критериев является критерий произведений. Он позволяет выбрать такой проект, который бы был наиболее доходным и в то же время наименее рискованным. Критерий произведений рассчитывается по формуле:

Критерий произведений способен работать на минимуме информации.

Пример решения задачи

Предположим, что в условиях колебания спроса G j = {3000, 6000, 9000,12000} у торгового предприятия существуют три стратегии сбыта какого-либо товара: Q п (1) = 6000 шт; Q п (2) = 9000 шт; Q п (3) = 12000 шт. по цене реализации C р = 70 руб. при цене покупки C п = 30 руб. и средних издержках И = 10руб./шт.

В соответствии с ресурсными возможностями торгового предприятия рассчитаем варианты среднегодовой прибыли по формуле (1), а результаты сведем в таблице 3.

Таблица 3 - Матрица выигрышей (прибылей) коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

1. Критерий Вальда. Для определения оптимальной стратегии по критерию наибольшей осторожности дополним табл. 3 столбцом 6 справа, укажем для каждой строки минимум прибыли и выберем ту стратегию, при которой минимум строки максимален (см. табл. 4).

Таблица 4 - Сводная матрица прибылей

2. Критерий Гурвица. Пусть показатель пессимизма λ определен λ = 0,4.

Для вычисления значений стратегий по критерию взвешенной (разумной) осторожности в дополнительном столбце 7 табл. 4 найдем максимальные значения для каждой строки. Тогда:

Максимальное значение соответствует двум стратегиям закупки Q п (1) и Q п (2) .

3. Критерий Лапласа. Исходя из принципа равновероятности состояний природы найдем средние значения "выигрышей"– прибылей для каждой стратегии:

По критерию усреднения выигрышей Лапласа наилучшей является стратегия закупки Q п (2)

4. Критерий Байеса-Лапласа. Для определения оптимальной стратегии по критерию средневзвешенной оценки выигрышей необходимо знать распределение вероятностей спроса. Пусть из прошлого опыта или экспертным путем такие вероятности определены (нижняя строка в табл. 4).

Тогда оценки по критерию для каждой стратегии составят:

Максимальное значение соответствует стратегии Q п (2) .

Таблица 5 - Матрица рисков коммерческих стратегий

5. Критерий Сэвиджа. Перейдем от матрицы выигрышей к матрице рисков (табл. 5). Для этого предварительно укажем в дополнительной строке таблицы максимально возможные выигрыши по каждому состоянию природы (предпоследняя строка) и затем рассчитаем соответствующие риски r i j = max П i j – П i j

для заполнения матрицы рисков (табл. 5). Исходя из принципа наибольшей осторожности, находим максимальные значения рисков по строкам и из них выбираем стратегии Q п (1) и Q п (2) с минимальным значением максимально возможного риска. Перенесем полученные значения в табл. 4 для подведения итогов выбора.

Итак, конкурирующими оказались стратегии Q п (1) и Q п (2) (выбор стратегии Q п (3) по критерию Гурвица вызван, скорее всего, излишним оптимизмом при выборе показателя λ). Стратегия Q п (1) выбрана по критериям Вальда, Лапласа и Сэвиджа, стратегия Q п (2) – по критериям Лапласа, Байеса-Лапласа и Сэвиджа.

Предпочтение той или иной стратегии выбирается лучшей по большинству критериев. Но в нашем случае две стратегии Q п (1) и Q п (2) равнозначны в этом смысле.

Задача по вариантами:

Таблица 6 - Матрица прибылей коммерческих стратегий при неопределенной рыночной конъюнктуре

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Критерий Сэвиджа один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения… … Википедия

Критерий согласия Колмогорова - или Критерий согласия Колмогорова Смирнова статистический критерий, использующийся для определения того, подчиняются ли два эмпирических распределения одному закону, либо того, подчиняется ли полученное распределение предполагаемой модели.… … Википедия

Вальда критерий - , другое написание критерий Уолда см. Максимин … Экономико-математический словарь

Критерий согласия Пирсона - Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи квадрат) наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая… … Википедия

Критерий Краскела - Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона Манна Уитни. Критерий Краскела Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому… … Википедия

Критерий Кохрена - Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбранном уровне значимости, если: где квантиль случайной величины при числе суммируемых… … Википедия

Критерий Лиллиефорса - статистический критерий, названный по имени Хьюберта Лиллиефорса, профессора статистики Университета Джорджа Вашингтона, являющийся модификацией критерия Колмогорова–Смирнова. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что выборка… … Википедия

Критерий Уилкоксона - Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации. Т Крит … Википедия

Последовательный статистический критерий - Последовательный статистический критерий последовательная статистическая процедура, используемая для проверки статистических гипотез в последовательном анализе. Пусть наблюдению в статистическом эксперименте доступна случайная величина с… … Википедия

Тест Вальда - (англ. Wald test) статистический тест, используемый для проверки ограничений на параметры статистических моделей, оцененных на основе выборочных данных. Является одним из трех базовых тестов проверки ограничений наряду с тестом… … Википедия

Книги

Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к… Купить за 443 руб
Теория вероятностей и математическая статистика в задачах. Более 360 задач и упражнений , Борзых Д.А.. В предлагаемом пособии содержатся задачи различного уровня сложности. Однако основной акцент сделан на задачах средней сложности. Это сделано намеренно с тем, чтобы побудить студентов к…

Критерий сожаления. Критерий математического ожидания . Психология поведения ЛИР в ситуациях риска и неопределенности. Использование теории полезности для выбора оптимального варианта решения. Интуитивный выбор оптимального варианта.

КРИТЕРИЙ ВАЛЬДА (критерий максимина")

Как видно из приведенной таблицы, оптимальная альтернатива рискового решения в условиях неопределенности по критерию Вальда (критерию "максимина") находится в затененном поле и соответствует 140 усл. ден. ед. (это значение эффективности является максимальным из всех минимальных ее значений при наихудших вариантах ситуаций).

Критерием Вальда (критерием "максимина") руководствуется при выборе рисковых решений в условиях неопределенности , как правило, субъект, не склонный к риску или рассматривающий возможные ситуации как пессимист.

Величина W - это такое значение показателя W(x, у), которое мы можем гарантировать себе при наихудшем для нас поведении природы (гарантированный результат). Если мы применим управление х е X, отличное от найденного в сформулированной задаче, природа -может наказать нас за легкомыслие, выбрав наихудшее значение параметра у, при котором мы получим показатель W, меньший W. Этот критерий выбора решения иногда называют также критерием Вальда.

Максиминная оценка по критерию Вальда является единственной абсолютно надежной при принятии решения в условиях неопределенности.

Стратегия S называется максиминной, т.е. при любом из условий конъюнктуры рынка результат будет не хуже, чем W = 49310,03 тыс. руб. Поэтому эту величину называют нижней ценой игры , или максимином, а также принципом наибольшего гарантированного результата на основе критерия Вальда, в соответствии с которым оптимальной стратегией при любом состоянии среды, позволяющем получить максимальный выигрыш в наихудших условиях, является максиминная стратегия.

Критерий Вальда представляет собой критерий крайнего пессимизма и ориентирует лицо, принимающее решение, на наихудшие условия реализации проекта.

Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния природы)

Стратегия, соответствующая максимальному значению среди минимумов строк, называется максиминной стратегией . Соответствующий критерий (критерий Вальда) записывается так

Другими словами, оптимальной по критерию Вальда будет та стратегия, при которой наименьший выигрыш является наибольшим среди наименьших выигрышей всех стратеги и. Величину W(, i = 1...m назовем показателем оптимальности стратегии А по критерию Вальда. Значит,

Один из методов заключается в выборе наилучшей из худших возможностей (критерий Вальда). При этом для каждой из стратегий выбирается худший результат, а затем из них - лучший. 108

Если при этом получаются стратегии с одинаковыми критериями Вальда, то из них выбирают стратегию, которая имеет наименьшую чувствительность ко внешним условиям "

Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущность данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы

Поэтому возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значений. Здесь находит применение критерий Сэвиджа . Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (2.2.2).

Наибольшая осторожность Ег = max min е i j Критерий гарантированного результата (Вальда)

А. Вальд также доказал, что его критерий существенно выгоднее (по среднему числу наблюдений), чем наилучший из классических критериев - критерий Неймана-Пирсона.

В частности, максиминный критерий Вальда обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь , которые могут быть при реализации одной из стратегий. Данный критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максиминному критерию, называется нижней ценой игры , под которой следует подразумевать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах.

Критерий Вальда (или критерий "максимина") предполагает, что из всех возможных вариантов "матрицы решений " выбирается та альтернатива, которая из всех самых неблагоприятных ситуаций развития события (минимизирующих значение эффективности) имеет наибольшее из минимальных значений (т.е. значение эффективности, луч-

Максиминный критерий Вальда используется в случаях, когда требуется гарантия, чтобы выигрыш в любых условиях оказывался не менее чем наибольший из возможных в худших условиях. критерии Гурвица . Его значение находится в пределах 0

В формуле этого критерия присутствует коэффициент а, значение которого устанавливается в зависимости от степени уверенности лица, принимающего решение, в правильности своего выбора, какому сценарию реализации проекта следует отдать предпочтение). Значение а выбирается в интервале от 0 до 1. При ос=0 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма при ос=1 - в критерий Вальда. При 0, тем большее желание "подстраховаться", тем ближе к 1 выбирается коэффициент.

Критерий правдоподобия является несмещенным и состоятельным, при больших выборках -2-log X имеет распределение хи-квадрат (hi-squared distribution) с г степенями свободы , где / - число параметров р, конкретные значения которых определяет Н0. Критерий правдоподобия (LK) эквивалентен критерию Вальда (W) и критерию множителя Лагранжа (LM) при асимптотическом приближении, однако при малых выборках W>LR>LM.

MAXIMIN- ориентирован на получение гарантированного выигрыша при наихудшем состоянии внешней среды (подход пессимиста, критерий Вальда). В соответствии с ним в качестве оптимальной выбирается альтернатива, имеющая максимальное значение ожидаемого результата в наименее благоприятном состоянии среды. Здесь решение - отказ от строительства.

Таким образом, критерий гарантированного результата (мак-симинный критерий Вальда) записывается в виде

Глава 2. Принятие решений в условиях неопределенности

2.7. Критерий Вальда

Критерий Вальда является самым "осторожным". Согласно ему, оптимальной альтернативой будет та, которая обеспечивает наилучший исход среди всех возможных альтернатив при самом плохом стечении обстоятельств.

Если исходы отражают подлежащие минимизации показатели (убытки, расходы, потери и т.д.), то критерий Вальда ориентируется на "минимакс" (минимум среди максимальных значений потерь всех альтернатив).

Если в качестве исходов альтернатив фигурируют показатели прибыли, дохода и других показателей, которые надо максимизировать (по принципу "чем больше, тем лучше"), то ищется "максимин" выигрыша (максимум среди минимальных выигрышей). Здесь и далее для всех критериев в тексте мы будем рассматривать именно такой случай, когда исход показывает некий выигрыш.

По критерию Вальда оценкой i -й альтернативы является ее наименьший выигрыш:

W i = min (x ij ) , j = 1..M

Оптимальной признается альтернатива с максимальным наихудшим выигрышем:

Х* = Х k , W k = max (W i ) , i = 1..N

Пример применения критерия Вальда

Есть два проекта Х 1 и Х 2 , которые при трех возможных сценариях развития региона (j=1..3) обеспечивают разную прибыль. Значения прибыли приведены в таблице 2.2. Необходимо выбрать проект для реализации.

Среди возможных проектов нет доминирующих ни абсолютно, ни по состояниям. Поэтому решение придется принимать по критериям.

Если выбор оптимального проекта осуществляется по критерию Вальда, то ЛПР должен выполнить следующие действия:

1. Найти минимальные исходы для каждой альтернативы. Это и будут значения критерия Вальда:

W 1 = min (x 1j), j = 1..3 => W 1 = min (45, 25, 50) = 25

W 2 = min (x 2j), j = 1..3 => W 2 = min (20, 60, 25) = 20

2. Сравнить значения критерия Вальда и найти наибольшую величину. Альтернатива с максимальным значением критерия будет считаться оптимальной:

25 > 20 => W 1 > W 2 => X* = X 1

Если бы решение принималось только по критерию Вальда, ЛПР выбрал для реализации проект Х 1 , поскольку прибыль, которую обеспечит данный проект при самом плохом развитии ситуации, выше.

Выбрав оптимальную альтернативу по критерию Вальда, ЛПР гарантирует себе, что при самом плохом стечении обстоятельств он не получит меньше, чем значение критерия. Поэтому данный показатель еще называют критерием гарантированного результата .

Основной проблемой критерия Вальда является его излишняя пессимистичность, и, как следствие, не всегда логичный результат. Так, например, при выборе по данному критерию между альтернативами А{100; 500} и В{90; 1000} следует остановиться на варианте А . Однако в жизни логичнее было бы выбрать В , так как в худшем случае В лишь немного хуже А , тогда как при хорошем стечении обстоятельств В обеспечивает гораздо больший выигрыш.