Многочлен представляет собой выражение, состоящее из суммы одночленов. Последние являются произведением константы (числа) и корня (или корней) выражения в степени k. В таком случае говорят о многочлене степени k. Разложение многочлена предполагает трансформацию выражения, при которой на смену слагаемых приходят множители. Рассмотрим основные способы проведения такого рода преобразования.
Метод разложения многочлена путем выделения общего множителя
Данный способ основывается на закономерностях распределительного закона. Так, mn + mk = m * (n + k).
- Пример: разложите 7y 2 + 2uy и 2m 3 – 12m 2 + 4lm.
7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Однако, множитель, присутствующий обязательно в каждом многочлене может найтись не всегда, поэтому данный способ не является универсальным.
Метод разложения многочлена на базе формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения справедливы для многочлена любой степени. В общем виде выражение-преобразование выглядит следующим образом:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), где k является представителем натуральных чисел.
Наиболее часто на практике применяются формулы для многочленов второго и третьего порядков:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Пример: разложите 25p 2 – 144b 2 и 64m 3 – 8l 3 .
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2).
Метод разложения многочлена – группировка слагаемых выражения
Данный метод некоторым образом перекликается с техникой выведения общего множителя, но имеет некоторые отличия. В частности, перед тем, как выделять общий множитель, следует произвести группировку одночленов. В основе группирования лежат правила сочетательного и переместительного законов.
Все одночлены, представленные в выражении разбиваются на группы, в каждой из которых выносится общее значение такое, что второй множитель будет одинаковым во всех группах. В общем виде подобный способ разложения можно представить в виде выражения:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Пример: разложите 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Метод разложения многочлена – формирование полного квадрата
Данный способ является одним из наиболее эффективных в ходе разложения многочлена. На первоначальном этапе необходимо определить одночлены, которые можно “свернуть” в квадрат разности или суммы. Для этого используется одно из соотношений:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2 ,
- Пример: разложите выражение u 4 + 4u 2 – 1.
Выделим среди его одночленов слагаемые, которые образуют полный квадрат: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Завершаете преобразование, используя правила сокращенного умножения: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Т.о. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
В общем случае эта задача предполагает творческий подход, так как не существует универсального метода ее решения. Но все же попробуем дать несколько наводок.
В подавляющем числе случаев, разложение многочлена на множители основано на следствии из теоремы Безу, то есть находится или подбирается корень и понижается степень многочлена на единицу делением на . У полученного многочлена ищется корень и процесс повторяется до полного разложения.
Если же корень найти не удается, то используются специфические способы разложения: от группировки, до ввода дополнительных взаимоисключающих слагаемых.
Дальнейшее изложение базируется на навыках решения уравнений высших степеней с целыми коэффициентами.
Вынесение за скобки общего множителя.
Начнем с простейшего случая, когда свободный член равен нулю, то есть многочлен имеет вид .
Очевидно, что корнем такого многочлена является , то есть многочлен представим в виде .
Этот способ есть ни что иное как вынесение общего множителя за скобки .
Пример.
Разложить многочлен третьей степени на множители.
Решение.
Очевидно, что является корнем многочлена, то есть х можно вынести за скобки:
Найдем
корни квадратного трехчлена 
Таким
образом,
К началу страницы
Разложение на множители многочлена с рациональными корнями.
Сначала рассмотрим способ разложения многочлена с целыми коэффициентами вида , коэффициент при старшей степени равен единице.
В этом случае, если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.
Пример.
Решение.
Проверим,
имеются ли целые корни. Для этого
выписываем делители числа -18
: .
То есть, если многочлен имеет целые
корни, то они находятся среди выписанных
чисел. Последовательно проверим эти
числа по схеме
Горнера. Ее удобство еще и в том, что
в итоге получим и коэффициенты разложения
многочлена:
То есть, х=2 и х=-3 являются корнями исходного многочлена и он представим в виде произведения:
Осталось разложить квадратный трехчлен .
Дискриминант этого трехчлена отрицательный, следовательно, он не имеет действительных корней.
Ответ:
Замечание:
вместо схемы Горнера можно было воспользоваться подбором корня и последующим делением многочлена на многочлен.
Теперь рассмотрим разложение многочлена с целыми коэффициентами вида , причем коэффициент при старшей степени не равен единице.
В этом случае многочлен может иметь дробно рациональные корни.
Пример.
Разложить на множители выражение .
Решение.
Выполнив
замену переменной y=2x
,
перейдем к многочлену с коэффициентом
равным единице при старшей степени. Для
этого сначала домножим выражение на 4
.
Если полученная функция имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем их:
Вычислим
последовательно значения функции g(y)
в
этих точках до получения нуля.
То
есть, y=-5
является
корнем 
,
следовательно, является
корнем исходной функции. Проведем
деление столбиком (уголком) многочлена на
двучлен .
Таким
образом,
Проверку
оставшихся делителей продолжать
нецелесообразно, так как проще разложить
на множители полученный квадратный
трехчлен 
Следовательно,
Незведені многочлени. Теорема про розклад многочлена у добуток незведених. Канонічний розклад многочлена.
Любой алгебраический многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n-линейных множителей вида и постоянного числа, которое является коэффициентов многочлена при старшей ступени х, т.е.
где 
- являются корнями многочлена.
Корнем многочлена называют число (действительное или комплексное), обращающее многочлен в нуль. Корнями многочлена могут быть как действительные корни, так и комплексно-сопряженные корни, тогда многочлен может быть представлен в следующем виде:
Рассмотрим методы разложения многочленов степени «n» в произведение множителей первой и второй степени.
Способ №1. Метод неопределенных коэффициентов.
Коэффициенты такого преобразованного выражения определяются методом неопределенных коэффициентов. Суть метода сводится к тому, что заранее известен вид множителей, на которые разлагается данный многочлен. При использовании метода неопределённых коэффициентов справедливы следующие утверждения:
П.1. Два многочлена тождественно равны в случае, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.
П.2. Любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей.
П.3. Любой многочлен четвертой степени разлагается на произведение двух многочленов второй степени.
Пример 1.1. Необходимо разложить на множители кубическое выражение:
П.1. В соответствии с принятыми утверждениями для кубического выражения справедливо тождественное равенство:
П.2. Правая часть выражения может быть представлена в виде слагаемых следующим образом:
П.3. Составляем систему уравнений из условия равенства коэффициентов при соответствующих степенях кубического выражения.
Данная система уравнений может быть решена методом подбора коэффициентов (если простая академическая задача) или использованы методы решения нелинейных систем уравнений. Решая данную систему уравнений, получим, что неопределённые коэффициенты определяются следующим образом:
Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители в следующем виде:
Данный метод может использоваться как при аналитических выкладках, так и при компьютерном программировании для автоматизации процесса поиска корня уравнения.
Способ №2. Формулы Виета
Формулы Виета - это формулы, связывающие коэффициенты алгебраических уравнений степени n и его корни. Данные формулы были неявно представлены в работах французского математика Франсуа Виета (1540 - 1603). В связи с тем, что Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем явном виде.
Для любого алгебраического многочлена степени n, который имеет n-действительных корней,
справедливы следующие соотношения, которые связывают корни многочлена с его коэффициентами:
Формулами Виета удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.
Пример 2.1. Рассмотрим, как связаны корни многочлена с его коэффициентами на примере кубического уравнения
В соответствии с формулами Виета взаимосвязь корней многочлена с его коэффициентами имеет следующий вид:
Аналогичные соотношения можно составить для любого полинома степени n.
Способ №3. Разложение квадратного уравнения на множители с рациональными корнями
Из последней формулы Виета следует, что корни многочлена являются делителями его свободного члена и старшего коэффициента. В связи с этим, если в условии задачи задан многочлен степени n c целыми коэффициентами
то данный многочлен имеет рациональный корень (несократимая дробь), где p - делитель свободного члена , а q – делитель старшего коэффициента . В таком случае многочлен степени n можно представить в виде (теорема Безу):
Многочлен , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена, определяется делением многочлена степени n двучлен , например, с помощью схемы Горнера или самым простым способом - «столбиком».
Пример 3.1. Необходимо разложить многочлен на множители
П.1. В связи с тем, что коэффициент при старшем слагаемом равен единицы, то рациональные корни данного многочлена являются делителями свободного члена выражения, т.е. могут быть целыми числами 
. Подставляем каждое из представленных чисел в исходное выражение найдем, что корень представленного многочлена равен .
Выполним деление исходного многочлена на двучлен:
Воспользуемся схемой Горнера
В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена, при этом первая ячейка верхней строки остается пустой.
В первой ячейке второй строки записывается найденный корень (в рассматриваемом примере записывается число «2»), а следующие значения в ячейках вычисляются определенным образом и они являются коэффициентами многочлена, который получится в результате деления многочлена на двучлен. Неизвестные коэффициенты определяются следующим образом:
Во вторую ячейку второй строки переносится значение из соответствующей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере записывается число «1»).
В третью ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на вторую ячейку второй строки плюс значение из третьей ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙1 -5 = -3).
В четвертую ячейку второй строки записывается значение произведения первой ячейки на третью ячейку второй строки плюс значение из четвертой ячейки первой строки (в рассматриваемом примере 2 ∙ (-3) +7 = 1).
Таким образом, исходный многочлен раскладывается на множители:
Способ №4. Использование формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения применяют для упрощения вычислений, а также разложение многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения позволяют упростить решение отдельных задач.
Формулы, используемые для разложения на множители
- 1. Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки . В ряде случаев, целесообразно заменить некоторые члены на сумму (разность) подобных слагаемых или ввести взаимно уничтожающиеся члены.
- 2. Использование формул сокращённого умножения. Иногда приходится выносить множители за скобки, группировать члены, выделять полный квадрат и только затем сумму кубов, разность квадратов или разность кубов представлять в виде произведения.
- 3. Использование теоремы Безу и метода неопределённых коэффициентов .
Пример . Разложить на множители:
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2;
Так как P 3 (-1)=0, то многочлен P 3 (x) делится на x+1. Методом неопределённых коэффициентов найдём частное от деления многочлена
P 3 (x)= x 3 +4x 2 +5x+2 на двучлен x+1.
Пусть частное есть многочлен x 2 +. Так как x 3 +4x 2 +5x+2=(x+1)·(x 2 +)=
X 3 +(+1)·x 2 +()·x+, получим систему:
Откуда. Следовательно, P 3 (x)=(x+1)·(x 2 +3x+2).
Поскольку x 2 +3x+2=x 2 +x+2x+2=x·(x+1)+2·(x+1)=(x+1)·(x+2), то P 3 (x)=(x+1) 2 ·(x+2).
4. Использование теоремы Безу и деления «столбиком».
Пример . Разложить на множители
P 4 (x) = 5·x 4 +9·x 3 -2·x 2 -4·x -8.
Решение . Поскольку P 4 (1) = 5+9-2-4-8 = 0, то P 4 (x) делится на (x-1). Деление «столбиком» найдем частное
Следовательно,
P 4 (x) = (x-)·(5·x 3 +14x 2 +12x+8)=
= (x-1) ·P 3 (x).
Так как P 3 (-2) = -40+56-24+8=0, то многочлен P 3 (x) = 5·x 3 +14x 2 +12x+8 делится на x+2.
Найдем частное делением «столбиком»:
Следовательно,
P 3 (x) = (x+2)·(5·x 2 +4x+4).
Так как дискриминант квадратного трехчлена 5·x 2 +4x+4 равен D = -24<0, то этот
квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается.
Итак, P 4 (x) = (x-1)·(x+2)·(5·x 2 +4x+4)
5. Использование теоремы Безу и схемы Горнера. Полученное этими способами частное можно разлагать на множители любым другим или этим же способом.
Пример . Разложить на множители:
P 3 (x) = 2·x 3 -5·x 2 -196·x+99;
Решение .
Если данный многочлен имеет рациональные корни, то они могут быть только среди чисел 1/2, 1, 3/2, 3, 9/2, 11/2, 9, 33, 99, 11.
Для нахождения корня данного многочлена воспользуемся следующим утверждением:
Если на концах некоторого отрезка значения многочлена имеют разные знаки, то на интервале (a; b) существует хотя бы один корень этого многочлена.
Для данного многочлена P 3 (0) =99, P 3 (1) = - 100. Следовательно, на интервале (0; 1) имеется по крайней мере один корень данного многочлена. Поэтому среди выписанных выше 24 чисел целесообразно вначале проверить те числа, которые принадлежат интервалу
(0; 1). Из этих чисел только число принадлежит этому интервалу.
Значение P 3 (x) при x=1/2 можно находить не только непосредственной подстановкой, но и другими способами, например по схеме Горнера, так как P() равно остатку от деления многочлена P(x) на x-. Более того, во многих примерах этот способ предпочтительнее, так как одновременно находятся и коэффициенты частного.
По схеме Горнера для данного примера получим:
Так как P 3 (1/2) = 0, то x =1/2 является корнем многочлена P 3 (x), и многочлен P 3 (x) делится на x-1/2, т.е. 2·x 3 -5·x 2 -196·x+99 =(x-1/2)·(2·x 2 -4·x-198).
Поскольку 2·x 2 -4·x-198 = 2·(x 2 -2·x+1-100) = 2·((x-1) 2 -10 2) = 2·(x+9)·(x-11), то
P 3 (x) = 2·x 3 -5·x 2 -196·x+99 = 2·(x-1/2)·(x+9)·(x-11).
Понятие кольца многочлена
Пусть К и L коммутативные кольца
Определение 1 : Кольцо К называется простым расширением кольца K с помощью элементов x и пишут:
L=K[x] , если выполняются условия:
подкольцо кольца
Основное множество K[x] обозначают сомволами L, K[x].
Определение 2 : Простое расширение L=K[x] кольца K с помощью x - простое трансцендентное расширение кольца K с помощью x , если выполняются условия:
подкольцо кольца
Если, то
Определение 3 : Элемент x называется трансцендентным над кольцом K , если выполняется условие: , если, то
Предложение . Пусть K[x] простое трансцендентное расширение. Если и, где, то
Доказательство . По условию, вычтем из первого выражения второе, получим: так как элемент x трансцендентен над K , то из (3) получим:.
Вывод. Любой элемент простого трансцендентного расширения неравного нулю, коммутативного кольца K с помощью элемента x допускает единственное представление в виде линейной комбинации целых неотрицательных степеней элемента x
Определение: Кольцом многочлена от неизвестного x над, неравным нулю, кольцом K называется простое трансцендентное расширение не нулевого коммутативного кольца K с помощью элемента x .
Теорема . Для любого не нулевого коммутативного кольца K, существует его простое трансцендентное расширение с помощью элемента x, k[x]
Операции над многочленами
Пусть k[x] кольцо многочленов не нулевого коммутативного кольца K
Определение 1: Многочлены f и g принадлежащие k[x], называются равными и пишут f = g, если равны между собой все коэффицинты многочленов f и g, стоящие при одних степенях неизвестного x.
Следствие . В записи многочлена порядок следования слагаемых не существенно. Приписывая и исключая из записи многочлена слагаемые с нулевым коэффициентом, не изменит многочлен.
Определение 2. Суммой многочленов f и g называется многочлен f + g, определяемый равенством:
Определение 3 : - произведение многочленов, обозначается, который определяется по правилу:
Степень многочленов
Пусть коммутативное кольцо. k[x] кольцо многочленов над полем K : ,
Определение : Пусть - любой многочлен. Если, то целое неотрицательное число n - степень многочленов f . При этом пишут n=deg f .
Числа - коэффициенты многочлена, где - старший коэффициент.
Если, f - нормированный. Степень нулевого многочлена неопределенна.
Свойства степени многочлена
K - область целостности
Доказательство :
Так как и. К - область целостности.
Следствие 1 : k[x] над полем К (область целостности) в свою очередь является областью целостности. Для любой области целостности существует область частности.
Следствие 2 : Для любого k[x] над областью целостности К существует поле частных.
Деление на двучлен и корни многочлена.
Пусть, элемент называется значением многочлена f от аргумента.
Теорема Безу : Для любого многочлена и элемента, существует элемент: .
Доказательство : Пусть - любой многочлен
Следствие : Остаток от деления многочлена на, равно.
Определение : Элемент называется корнем многочлена f , если.
Теорема : Пусть, элемент является корнем f тогда и только тогда, когда делит f
Доказательство:
Необходимости. Пусть, из теоремы Безу следует, что, из свойств делимости следует, что
Достаточности. Пусть, что. ч.т.д.
Максимальное число корней многочлена над областью целостности.
Теорема : Пусть k - область целостности. Число корней многочлена f в области целостности k не больше степени n многочлена f .
Доказательство :
Индукцией по степени многочлена. Пусть многочлен f имеет ноль корней, и их число не превосходит.
Пусть теорема доказана для любого.
Покажем, что из пункта 2 следует истинность утверждения теоремы для многочленов.
Пусть и, возможны два случая:
- А) Многочлен f не имеет корней, следовательно, утверждение теоремы истинно.
- Б) Многочлен f имеет, по крайней мере, корень, по теореме Безу, так как k - область целостности то по свойству 3 (степени многочлена), следует, что
Так как, k - область целостности.
Таким образом, все корни многочлена, является корнем многочлена g так как, то по индукционному предположению, число всех корней многочлена g не больше n , следовательно, f имеет не больше (n+ 1) корень.
Следствие : Пусть k - область целостности, если число корней многочлена f больше числа n, где, то f - нулевой многочлен.
Алгебраическое и функциональное равенство многочленов
Пусть, - какой-то многочлен, он определяет некоторую функцию
в общем случае, любой многочлен может определять одну функцию.
Теорема : Пусть k - область целостности, таким образом, для равенства многочленов и равенство (тождественное равенство ()) определяемыми и.
Доказательство :
Необходимости. Пусть и - область целостности, .
Пусть, то есть
Достаточности. Предположим, что. Рассмотрим, так как k область целостности, то многочлен h имеет число корней, из следствия следует, что h нулевой многочлен. Таким образом, ч.т.д.
Теорема о делимости с остатком
Определение : Евклидовым кольцом K называется такая область целостности k, что на множестве определена функция h, приминающая целые неотрицательные значения и удовлетворяет условию
В процессе нахождения элементов для данных элементов называется делением с остатком, - неполное частное, - остаток от деления.
Пусть - кольцо многочленов над полем.
Теорема (о делении с остатком) : Пусть - кольцо многочленов над полем и многочлен существует единственная пара многочленов, такая, что и выполняется условие или. или
Доказательство : Существование многочлена. Пусть, то есть. Теорема верна, очевидно, если - нулевой или, так как или. Докажем теорему, когда. Доказательство проведём по индукции степени многочлена, предположим, что теорема доказана (кроме единственности), для многочлена. Покажем, что в этом случае утверждение теоремы выполнено для. Действительно, пусть - старший коэффициент многочлена, следовательно, многочлен будет иметь тот же старший коэффициент и тужу степень, что у многочлена, следовательно многочлен будет иметь или является нулевым многочленом. Если, то, следовательно, при и получим. Если, то по индуктивному предположению, следовательно, то есть, при получаем или. Существование многочлена доказано.
Покажем, что такая пара многочленов единственна.
Пусть существует или, вычтем: . Возможны два случая или.
С другой стороны. По условию степени или, или.
Если. Получено противоречие, таким образом. Единственность доказана.
Следствие 1 : Кольцом многочленов над полем, является Евклидово пространство.
Следствие 2 : Кольцом многочленов над, является кольцом главных идеалов (любой идеал имеет единственную образующую)
Любое Евклидово кольцо факториально: Кольцо многочлена над, называется факториальным кольцом.
Алгоритм Евклида. НОД двух многочленов
Пусть кольцо многочленов над.
Определение 1 : Пусть и, если существует многочлен, то остаток от деления равен нулю, то называется делителем многочлена и обозначается: ().
Определение 2 : Наибольший общий делитель многочленов и называется многочлен:
и (- общий делитель и).
(на любой общий делитель и).
Наибольший общий делитель многочленов и обозначается НОД(;). К числу общих делителей любых многочленов относят все многочлены нулевой степени из, то есть не нулевого поля. Может оказаться так, что два данных многочлена и не имеют общих делителей, не являющиеся нулевыми многочленами.
Определение : Если многочлены и не имеют общих делителей не являющихся многочленами нулевой степени, то они называются взаимно простыми.
Лемма : Если многочлены от над полем, имеет место, то наибольшим общим делителем многочленов и ассоциированы НОД. ~
Запись (a~b ) означает, что (и) по определению.
Доказательство : Пусть и
и, отсюда следует, что и поучаем, что - общий делитель многочлена и.
общий делитель и, получаем
Алгоритм Евклида
Рассмотрим на конкретных примерах, как разложить многочлен на множители.
Разложение многочленов будем проводить в соответствии с .
Разложить многочлены на множители:
Проверяем, нет ли общего множителя. есть, он равен 7cd. Выносим его за скобки:
Выражение в скобках состоит из двух слагаемых. Общего множителя уже нет, формулой суммы кубов выражение не является, значит, разложение завершено.
Проверяем, нет ли общего множителя. Нет. Многочлен состоит из трех слагаемых, поэтому проверяем, нет ли формулы полного квадрата. Два слагаемых являются квадратами выражений: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², третье слагаемое равно удвоенному произведению этих выражений:2∙5x∙3y=30xy. Значит, данный многочлен является полным квадратом. Так как удвоенное произведение со знаком «минус», то это — :
Проверяем, нельзя ли вынести общий множитель за скобки. Общий множитель есть, он равен a. Выносим его за скобки:
В скобках — два слагаемых. Проверяем, нет ли формулы разности квадратов или разности кубов. a² — квадрат a, 1=1². Значит, выражение в скобках можно расписать по формуле разности квадратов:
Общий множитель есть, он равен 5. Выносим его за скобки:
в скобках — три слагаемых. Проверяем, не является ли выражение полным квадратом. Два слагаемых — квадраты: 16=4² и a² — квадрат a, третье слагаемое равно удвоенному произведению 4 и a: 2∙4∙a=8a. Следовательно, это — полный квадрат. Так как все слагаемые со знаком «+», выражение в скобках является полным квадратом суммы:
Общий множитель -2x выносим за скобки:
В скобках — сумма двух слагаемых. Проверяем, не является ли данное выражение суммой кубов. 64=4³, x³- куб x. Значит, двучлен можно разложить по формуле :
Общий множитель есть. Но, поскольку многочлен состоит из 4 членов, мы будем сначала , а уже потом выносить за скобки общий множитель. Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, в второе — с третьим:
Из первых скобок выносим общий множитель 4a, из вторых — 8b:
Общего множителя пока нет. Чтобы его получить, из вторых скобок вынесем за скобки «-«, при этом каждый знак в скобках изменится на противоположный:
Теперь общий множитель (1-3a) вынесем за скобки:
Во вторых скобках есть общий множитель 4 (этот тот самый множитель, который мы не стали выносить за скобки в начале примера):
Поскольку многочлен состоит из четырех слагаемых, выполняем группировку. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым:
В первых скобках общего множителя нет, но есть формула разности квадратов, во вторых скобках общий множитель -5:
Появился общий множитель (4m-3n). Выносим его за скобки.
