Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Отбор корней при решении тригонометрических уравнений
1. Вычислите: б) arccos в) arcsin 2 д) arccos е) ar с ctg а) arcsin (-1) г) arctg (не существует); (не существует);
2. Решить уравнения: б) sin х = в) cos х = 0; г) tg x = а) cos x = - 1;
1. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности. Пример 1 . cos x + cos 2 x – cos 3 x = 1. Решение. cos x – cos 3 x – (1 – cos 2 x) = 0, 2sin x sin 2 x – 2sin 2 x = 0, 2sin x (sin 2 x – sin x) = 0,
Изобразим серии корней на тригонометрическом круге. 0 x y Видим, что первая серия () включает в себя корни второй серии (), а третья серия () включает в себя числа вида из корней первой серии (). 0
Пример 2. tg x + tg 2 x – tg 3 x = 0. Решение.
tg x · tg 2 x · tg 3 x = 0; Изобразим ОДЗ и серии корней на числовой окружности. 0 x y 0 Из второй серии корней () числа вида не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида. входят в третью серию () Первая серия () так же входит в третью серию корней (), поэтому ответ можно записать одной формулой.
Пример 3. Решение. Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет. Нанесем на числовую окружность все числа серии и исключим корни, удовлетворяющие Оставшиеся решения из серии корней можно объединить в формулу 0 x y 0 условию
2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом Пример 1. Решение. Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, то уравнение равносильно системе Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение Получаем Итак,
Пример 2. Решение. Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение где целое число. тогда Пусть Итак,
3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями Пример 1. Найти корни уравнения sin 2 x = cos x | cos x |, удовлетворяющие условию x . cos x (2sin x - | cos x |)=0; Решение. sin 2 x = cos x | cos x |; 2sin x · cos x - cos x | cos x |=0;
0 y x 0 y x cos x ≥ 0 cos x
Пример 2 . Найти все решения уравнения принадлежащие отрезку Решение. ОДЗ: cos 3x ≥ 0; Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге: 0 y x Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку: 1 + sin 2 x = 2cos 2 3 x ; sin 2x = cos 6x; sin 2 x - cos 6 x =0;
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =2, то есть Из второй серии: Следовательно n =5, то есть
Пример 3. Найти все корни уравнения которые удовлетворяют условию Решение. 10sin 2 x = – cos 2 x + 3; 10sin 2 x = 2sin 2 x – 1 + 3, 8sin 2 x = 2; 0 y x С помощью числовой окружности получим:
Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи. Из первой серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть Из второй серии: Следовательно n =0 или n =1, то есть
Данная статья может помочь учащимся старших классов, а также учителям при решении тригонометрических уравнений и отборе корней, принадлежащих определенному промежутку. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.
Просмотр содержимого документа
«СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
СПОСОБЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Попова Татьяна Сергеевна, учитель математики, информатики, физики МКОУ БГО Петровская СОШ
В ЕГЭ по математике входят задания, связанные с решением уравнений. Встречаются уравнения линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические. Эти уравнения требуется: во-первых, решить, то есть найти их все решения, во-вторых, осуществить отбор корней, принадлежащие тому или иному промежутку. В этой статье рассмотрим пример решения тригонометрического уравнения и отбор его корней различными способами. В зависимости от того какие даны ограничения на полученные корни следует использовать различные методы отбора корней, то есть нужно взять тот способ, который более наглядно покажет правильный результат.
Рассмотрим три способа отбора корней:
С помощью единичной окружности;
С помощью неравенств;
С помощью графика.
На конкретном примере разберем эти способы.
Пусть дано следующее задание:
а) Решите уравнение
б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
Вначале решим данное уравнение:
Используя формулу двойного угла и формулы привидения, получим:
Отсюда, или. Решая каждое уравнение, получим:
;
или
.
б) Производить отбор корней можно с помощью единичной окружности (рис.1), но дети путаются, так как заданный промежуток может быть больше длины окружности и его при нанесении на окружность трудно изобразить:
Получим числа:
Можно воспользоваться методом неравенств. Заметим, что если дан отрезок, то неравенство нестрогое, а если интервал, то неравенство строгое. Проверим каждый корень
С учетом того, что -3,-2. Подставим n в формулу корней, получим корни ; x =
Аналогично найдем корни для,
k – целых нет,
1, подставим в общий корень
Получили точно такие же корни как с помощью единичной окружности.
Пусть этот метод более громоздкий, но на собственном опыте, занимаясь решением таких уравнений и отбором корней с учениками, мы заметили, что методом неравенств школьники делают меньше ошибок.
Рассмотрим на этом же примере отбор корней уравнения с помощью графика (рис.2)
Также получаем три корня:
Нужно научить детей пользоваться всеми тремя методами отбора корней, а потом пусть сами решают как им проще и какой метод ближе. Также можно проверять себя в правильности решения, используя разные способы.
Используемая литература:
http://yourtutor.info
http://www.ctege.info/zadaniya-ege-po-matematike
№10 (757) ИЗДАЕТСЯ С 1992 г. mat.1september.ru Тема номера Проверка знаний Наш проект Соревнования Внимание – Творческий Разбор урока Кубок Урала на сильного экзамен «Аксиома ученика параллельных прямых» c. 16 c. 20 c. 44 7 6 5 4 3 ерсия журн яв а на л 2 он а ны е р тель элект лни допо териа лы 1 м а ине те б м ка и чно в Л айте ru на с 1 2 3 4 5 6 0 r. w w be w. 1 m septe октябрь 1september.ru 2014 м а т е м а т и к а Подписка на сайте www.1september.ru или по каталогу «Почта России»: 79073 (бумажная версия); 12717 (CD-версия) 10–11 классы Обучениеотбору С. МУГАЛЛИМОВА, пос. Белый Яр, Тюменская обл. корнейтригоно- метрического уравнения Тригонометрия в школьном курсе математи- ки занимает особое место и традиционно считается трудной и для изложения учителем, и для усвоения учащимися. Это один из разде- лов, изучение которого зачастую воспринимается многими как «ма- тематика ради математики», как изучение материала, не имеющего практикум практической ценности. Между тем тригонометрический аппарат используется во многих приложениях математики и оперирование тригонометрическими функциями необходимо для реализации вну- три- и межпредметных связей в обучении математике. Заметим, что тригонометрический материал создает благодат- ную почву для формирования различных метапредметных уме- ний. Например, обучение отбору корней тригонометрического уравнения и решений тригонометрического неравенства позволя- / ет формировать умение, связанное с поиском решений, удовлетво- м е то д о б ъ е д и н е н и е ряющих заданным условиям. Методика обучения отбору корней опирается на перечисленные ниже факты. Знание: – расположения точек на тригонометрической окружности; – знаков тригонометрических функций; – местоположения точек, соответствующих наиболее распро- страненным значениям углов, и углов, связанных с ними форму- лами приведения; – графиков тригонометрических функций и их свойств. Понимание: – того, что на тригонометрической окружности точка характе- ризуется тремя показателями: 1) углом поворота точки P (1; 0); 2) абсциссой, которая соответствует косинусу этого угла и 3) орди- натой, соответствующей синусу этого угла; – многозначности записи корня тригонометрического уравне- 30 ния и зависимости конкретного значения корня от значения цело- го параметра; – зависимости величины угла поворота радиуса от количества полных оборотов либо от периода функции. Умение: – отмечать на тригонометрической окружности точки, соответ- ствующие положительным и отрицательным углам поворота ра- диуса; – соотносить значения тригонометрических функций с местопо- ложением точки на тригонометрической окружности; математика октябрь 2014 – записывать значения углов поворота точки 3.3. Отметить как можно больше точек, со- P (1; 0), соответствующих симметричным точ- ответствующих данным значениям функции кам на тригонометрической окружности; 1 (например, | sin x | =). – записывать значения аргументов тригоно- 2 метрических функций по точкам графика функ- 3.4. Отметить промежутки, соответствующие ции с учетом периодичности функции, а также заданным ограничениям на значения функции четности и нечетности; 3 1 (например, − ≤ cos x ≤). – по значениям переменных находить соответ- 2 2 ствующие точки на графиках функций; 3.5. При заданных значениях функции и огра- – объединять серии корней тригонометриче- ничениях на значения аргумента отметить соот- ских уравнений. ветствующие точки и записать значения аргу- Таким образом, в процессе изучения тригоно- мента (например, указать на графике и сделать метрического материала необходимо выполнить соответствующие записи для точек, удовлетво- следующие упражнения. 5π ряющих условиям tg x = 3 и −3π < x <). 1. При изучении начал тригонометрии (в пря- 2 моугольном треугольнике) заполнить (и запом- Перечисленные выше действия полезны при нить!) таблицу значений тригонометрических решении задачи С1 ЕГЭ по математике. В этой функций для углов 30°, 45°, 60° и 90°. задаче, помимо решения тригонометрического 2. При введении понятия тригонометрической уравнения, требуется произвести отбор корней, окружности: и для успешного выполнения этого задания на 2.1. Отметить точки, соответствующие по- экзамене, помимо перечисленных знаний и уме- воротам радиуса на 30°, 45°, 60°, затем на 0, ний, ученик должен владеть следующими навы- π 3π π π π π π π 5π 3π ками: , π, 2π, − , − , − , 2 2 6 4 3 6 4 3 6 4 – решать простейшие тригонометрические 2π 7π 5π 4π уравнения и неравенства; , . 3 6 4 3 – применять тригонометрические тождества; 2.2. Записать значения углов для указанных – использовать различные методы решения выше точек с учетом периодичности движения уравнений; по окружности. – решать двойные линейные неравенства; 2.3. Записать значения углов для указанных – оценивать значение иррационального числа. выше точек с учетом периодичности движения Перечислим способы отбора корней в подоб- по окружности при заданных значениях параме- ных заданиях. тра (например, при n = 2, n = –1, n = –5). 2.4. Найти с помощью тригонометрической Способ перевода в градусную меру окружности значения синуса, косинуса, танген- 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- са и котангенса для указанных выше углов. 2 2.5. Отметить на окружности точки, соответ- 3π 5π ряющие условию x ∈ − ; . ствующие требуемым значениям тригонометри- 2 2 ческих функций. Решение. Корни уравнения имеют вид 2.6. Записать числовые промежутки, удовлет- π x = (−1)n + πn, где n ∈ Z. воряющие заданным ограничениям значения 6 3 2 Это значит, что функции (например, − ≤ sin α ≤). 2 2 x = 30° + 360°жn или x = 150° + 360°жn. 2.7. Подобрать формулу для записи углов, со- 3π 5π ответствующих нескольким точкам на тригоно- Условие x ∈ − ; можно записать в виде метрической окружности (например, объединить 2 2 π 3π x ∈ [–270°; 450°]. Указанному промежутку при- записи x = ± + 2πn, n ∈ Z, и x = ± + 2πk, k ∈ Z). 4 4 надлежат следующие значения: 3. При изучении тригонометрических функ- ций, их свойств и графиков: 30°, 150°, –210°, 390°. 3.1. Отметить на графике функции точки, со- Выразим величины этих углов в радианах: ответствующие указанным выше значениям ар- π 5π 7π 13π , − , . гументов. 6 6 6 6 3.2. При заданном значении функции (напри- Это не самый изящный способ решения по- мер, ctg x = 1) отметить как можно больше точек добных заданий, но он полезен на первых порах на графике функции и записать соответствую- освоения действия и в работе со слабыми учени- щие значения аргумента. ками. 31 математика октябрь 2014 Способ движения по окружности Способ оценки 3 Решить уравнение Найти корни уравнения tg x = , удовлетво- tg x − 1 3 = 0. π − cos x ряющие условию x ∈ − ; 2π . 2 Решение. Данное уравнение равносильно си- 3 Решение. Корни уравнения tg x = имеют стеме tg x = 1, π 3 вид x = + πn, n ∈ Z. Потребуем выполнения 6 cos x < 0. π условия x ∈ − ; 2π , для этого решим двойное Отметим на тригонометрической окружности 2 корни уравнения tg x = 1, соответствующие зна- неравенство: π π π 2 5 чениям углов поворота x = + πn, n ∈ Z (рис. 1). − ≤ + πn ≤ 2π, − ≤ n ≤ 1 . 4 2 6 3 6 Выделим также дуги окружности, лежащие во II π 7π Отсюда n = 0 или n = 1. Значит x = или x = . и III координатных четвертях, так как в этих чет- 6 6 вертях выполнено условие cos x < 0. Графический способ 1 Найти корни уравнения sin x = , удовлетво- 2 3π 5π ряющие условию x ∈ − ; . 2 2 Решение. Построим график функции y = sin x (рис. 2). Корни данного уравнения являются абс- циссами точек пересечения графика с прямой практикум 1 y= . Отметим такие точки, выделив фрагмент 2 3π 5π графика на промежутке − ; . 2 2 Рис. 1 Из рисунка видно, что решениями системы, а значит, и решениями данного уравнения явля- / π ются значения x = + π(2n + 1), n ∈ Z. м е то д о б ъ е д и н е н и е 4 Рис. 2 Способ перебора Здесь cos x π π 5π π 13π Решить уравнение = 0. x0 = , x1 = π − = , x2 = + 2π = , 16 − x 2 6 6 6 6 6 Решение. Данное уравнение равносильно си- 5π 7π стеме x3 = − 2π = − . 6 6 cos x = 0, 16 − x > 0. 2 Таким образом, на заданном промежутке урав- π нение имеет четыре корня: Из уравнения cos x = 0 получим: x = + πn, n ∈ Z. 2 π 5π 13π 7π , − . Решения неравенства 16 – x2 > 0 принадлежат 6 6 6 6 промежутку (–4; 4). В заключение выделим несколько моментов. Выполним перебор: Умение, связанное с поиском решений, удо- π π 3, 14 влетворяющих заданным значениям аргумента, если n = 0, то x = + π ⋅0 = ≈ ∈(−4; 4); 2 2 2 является важным в решении многих приклад- π 3π 3 ⋅ 3, 14 ных задач, и формировать это умение необходи- если n = 1, то x = + π = ≈ ∉(−4; 4); 2 2 2 мо в процессе изучения всего тригонометриче- если n ≥ 1, то получим значения x, большие 4; ского материала. π π 3, 14 В процессе обучения решению задач, в кото- если n = –1, то x = −π= − ≈ − ∈(−4; 4); 2 2 2 рых требуется отобрать корни тригонометриче- π 3π 3 ⋅ 3, 14 ского уравнения, с учениками следует обсудить если n = –2, то x = − 2π = − ≈− ∉(−4; 4); 2 2 2 разные способы выполнения этого действия, а если n ≤ –2, то получим значения x, меньшие –4. также выяснить случаи, когда тот или иной спо- π π соб может оказаться наиболее удобным или, на- Данное уравнение имеет два корня: и − . 2 2 оборот, непригодным. математика октябрь 2014 32
